ParMooN - a modernized program package based on mapped finite elements

{\sc ParMooN} is a program package for the numerical solution of elliptic and parabolic partial differential equations. It inherits the distinct features of its predecessor {\sc MooNMD} \cite{JM04}: strict decoupling of geometry and finite element spaces, implementation of mapped finite elements as their definition can be found in textbooks, and a geometric multigrid preconditioner with the option to use different finite element spaces on different levels of the multigrid hierarchy. After having presented some thoughts about in-house research codes, this paper focuses on aspects of the parallelization for a distributed memory environment, which is the main novelty of {\sc ParMooN}. Numerical studies, performed on compute servers, assess the efficiency of the parallelized geometric multigrid preconditioner in comparison with some parallel solvers that are available in the library {\sc PETSc}. The results of these studies give a first indication whether the cumbersome implementation of the parallelized geometric multigrid method was worthwhile or not.Comment: partly supported by European Union (EU), Horizon 2020, Marie Sk{\l}odowska-Curie Innovative Training Networks (ITN-EID), MIMESIS, grant number 67571

ParMooN - a modernized program package based on mapped finite elements

PARMOON is a program package for the numerical solution of elliptic and parabolic partial differential equations. It inherits the distinct features of its predecessor MOONMD [28]: strict decoupling of geometry and finite element spaces, implementation of mapped finite elements as their definition can be found in textbooks, and a geometric multigrid preconditioner with the option to use different finite element spaces on different levels of the multigrid hierarchy. After having presented some thoughts about in-house research codes, this paper focuses on aspects of the parallelization, which is the main novelty of PARMOON. Numerical studies, performed on compute servers, assess the efficiency of the parallelized geometric multigrid preconditioner in comparison with parallel solvers that are available in external libraries. The results of these studies give a first indication whether the cumbersome implementation of the parallelized geometric multigrid method was worthwhile or not

Numerische und analytische Aspekte der projektionsbasierten ordnungsreduzierten Modellierung im Rahmen der numerischen Strömungsmechanik

This thesis studies projection-based reduced-order models (ROMs) in the context of computational fluid dynamics. Proper Orthogonal Decomposition (POD) is employed to compute the reduced-order basis from snapshots, which are assumed to represent the finite element solution of a partial differential equation. All investigations involve either convection-diffusion-reaction equation or the incompressible Navier-Stokes equations. The main contribution of the thesis can be divided into three parts. Firstly, a Streamline-Upwind Petrov-Galerkin reduced-order model (SUPG-ROM) is investigated theoretically and numerically for convection-dominated convection-diffusion- reaction equations. Numerical analysis is utilized to propose the scaling of the stabilization parameter for the SUPG-ROM. Two approaches are used: One based on the underlying finite element discretization and the other one based on the POD truncation. The resulting SUPG-ROMs and the standard Galerkin ROM are studied numerically on several convection-dominated test problems aiming at answering several questions. One of the choices for the stabilization parameter is recommended. Secondly, an alternative approach for the computation of the ROM initial condition is derived for problems, for which the standard approach, that is usually used in the literature, results in the ROM initial condition being polluted by spurious oscillations. The principal idea of the method consists in modifying the conventional ROM initial condition in a post-processing step by a filtering procedure. Numerical studies are performed in order to investigate the influence of the filtered initial condition on the ROM results. With respect to the minimum and maximum values of the ROM solution, which characterize the under- and overshoots, ROM results could be partly significantly improved compared to the results obtained with the standard ROM initial condition. Thirdly, three velocity- pressure reduced-order models (vp-ROMs) for incompressible flows are investigated numerically. One method computes the ROM pressure solely based on the velocity POD modes, whereas the other two ROMs use pressure modes as well. One of the latter methods denoted by SM-ROM is developed within the framework of this dissertation. Moreover, the impact of the snapshot accuracy as well as of utilizing different linearization techniques on the ROM results is investigated numerically. Based on weakly divergence-free velocity snapshots, SM-ROM could reproduce the results of the finite element simulations in many cases better than the other vp-ROMs. Together with the fact that SM-ROM does not need any specification of additional pressure boundary conditions, which is required in the other methods, SM-ROM can be considered to be superior to other vp-ROMs for the computation of the ROM pressure.Diese Dissertation beschäftigt sich mit projektionsbasierten ordnungsreduzierten Modellen (ROMs) im Rahmen der numerischen Strömungsmechanik. Proper Orthogonal Decomposition (POD) wird zur Berechnung der ordnungsreduzierten Basis aus den sogenannten Schnappschüssen eingesetzt. Es wird angenommen, dass die Schnappschüsse die Finite-Elemente-Lösung einer partiellen Differentialgleichung darstellen. Der Beitrag der vorliegenden Dissertation besteht aus drei Teilen. Erstens wird ein Streamline-Upwind Petrov-Galerkin ordnungsreduziertes Modell, bezeichnet als SUPG-ROM, für konvektionsdominante Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen sowohl theoretisch als auch numerisch untersucht. Mittels numerischer Analyse wird die Skalierung der Stabilisierungsparameter für SUPG-ROMs vorgeschlagen. Dabei werden zwei Ansätze verwendet: Der eine basiert auf der zugrundeliegenden Finite-Elemente-Diskretisierung und der andere auf der räumlichen Auflösung im Zusammenhang mit POD. Die resultierenden SUPG-ROMs und das übliche Galerkin ROM werden mittels mehrerer konvektionsdominanter Testbeispiele untersucht. Zweitens wird ein alternativer Ansatz für die Berechnung der ROM- Anfangsbedingung für Probleme entwickelt, bei welchen der Standard-Ansatz, der in der Regel in der Literatur verwendet wird, eine durch Störschwingungen verfälschte Anfangsbedingung erzeugt. Die Grundidee des Verfahrens besteht darin, die herkömmliche ordnungsreduzierte Anfangsbedingung in einem Nachbearbeitungsschritt durch ein Filterverfahren zu modifizieren. Der Einfluss der gefilterten ROM-Anfangsbedingung auf die ROM-Ergebnisse wird numerisch untersucht. In Bezug auf die Minimal- und Maximalwerte der ordnungsreduzierten Lösung, die als Maß für Unter- und Überschwingungen dienen, konnten die ROM-Ergebnisse im Vergleich zu denen mit üblichen ROM- Anfangsbedingungen zum Teil deutlich verbessert werden. Drittens werden drei ordnungsreduzierte Modelle für Geschwindigkeit und Druck (vp-ROMs) für inkompressible Strömungen numerisch untersucht. Eines dieser Verfahren berechnet den ROM-Druck allein auf der Grundlage der POD-Moden für die Geschwindigkeit, während die beiden anderen vp-ROMs auch die POD-Basiselemente für den Druck verwenden. Eine der letztgenannten Methoden, bezeichnet als SM- ROM, wurde im Rahmen dieser Arbeit entwickelt. Des Weiteren wird die Auswirkung der Genauigkeit der Schnappschüsse sowie verschiedener Linearisierungsansätze auf die ROM-Ergebnisse numerisch untersucht. Für die im schwachen Sinne divergenzfreien Geschwindigkeits-Schnappschüsse konnte SM-ROM die Ergebnisse der Finite-Elemente-Simulationen in vielen Fällen am besten approximieren. Unter Berücksichtigung, dass SM-ROM im Gegensatz zu den anderen vp-ROMs keine Angabe zusätzlicher Druckrandbedingungen benötigt, lässt sich hieraus ableiten, dass SM-ROM im Vergleich zu den zwei anderen untersuchten vp-ROMs am besten zur Berechnung des POD-Drucks geeignet ist

SUPG reduced order models for convection-dominated convection–diffusion–reaction equations

This paper presents a Streamline-Upwind Petrov–Galerkin (SUPG) reduced order model (ROM) based on proper orthogonal decomposition (POD). This ROM is investigated theoretically and numerically for convection-dominated convection–diffusion–reaction problems. The SUPG finite element method was used on realistic meshes for computing the snapshots, leading to some noise in the POD data. Numerical analysis is used to propose the scaling of the stabilization parameter for the SUPG-ROM. Two approaches are used: One based on the underlying finite element discretization and the other one based on the POD truncation. The resulting SUPG-ROMs and the standard Galerkin ROM (G-ROM) are studied numerically. For many settings, the results obtained with the SUPG-ROMs are more accurate. Finally, one of the choices for the stabilization parameter is recommended